“中医底气”漫谈(三)之『数理学』

兮招天

“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。”──屈原

　　借助于这九篇“西科”反思文章，我们不但看清了“现代科学”的发展脉络及观念弊病，而且尤其直观感受到了：

　　①数学语言(形式逻辑)
　　②哲学道理(文化思辨)
　　③科学真理(物理模型)

这三架马车，在“推动某个事物研究上，步入规范化、应用化与平台化”方面，那种与时俱进、江河直下的煌煌之功，大势难挡！

　　“夫风生于地，起于青苹之末， 侵淫溪谷，盛怒于土囊之口，缘太山之阿，舞于松柏之下，飘忽淜滂，激飓熛怒。耾耾雷声，回穴错迕，蹶石伐木， 梢杀林莽……”──宋玉《风赋》

　　“你看，风起于青苹之末时，只是微微一点，极尽轻柔，但转眼之间便狂风大作，树倒根拔，大自然上演了惊心动魄的一幕。”──常指某种倾向，或者是谣言的产生。用于形容各种事物不知不觉的发生，经过一番轰轰烈烈，最后平息。

　　中医濒临断代，中医几近西化……究其历史变迁原委，我们中医缺失了这三百年来的近代文明积淀：

　　这300多年来，随着“人文复兴”、“黑死病劫”、“宗教改革”、“工业革命”、“立宪狂澜”、“殖民贸易”、“法德俄争霸”、“英美日大战(欧亚非的大多数战火，几乎都是这3个幕后黑手挑动与策划的，延续至今日地球)”、“种族清洗(进化论之社会达尔文主义，它深刻地影响了德日法西斯－疯狂屠杀、苏中大清洗－政治运动)”等等。

────从14～15世纪开始，阿拉伯邦国作为世界中转站，将中印－波斯、苏美儿－古埃及、古希腊－古罗马等源头文明，建众图书馆珍藏、并教团式大力梳整……而后被「十字军」东征打包运回，和「大航海」东掠增删发挥。

　　这就是近、现代科学萌芽和起步时代，一段几乎令人遗忘的血腥历史背景！西医大行其道，不过是从军事优胜替换成了文化优越，一丘之貉罢了！

　　目前，国家主导的仅是中医产业的“规范化、应用化与平台化”，它看重的是国际市场价值(主要抵御日韩两国的药企)与话语权(取得跟欧美大国的平座谈资)────毕竟“马毛思想＋市场理论”的现行政经机制，你还能过于奢望“中医这一亩三分自留地，能够有多大惊喜地产出”？？？

　　中医的复兴之路，艰难而烦琐，但我们不能等待日韩、越南等“汉字文化圈”的他国，去抢占华夏民族的文化遗产。重新温习这九篇“西科脉络”反思文章，看一看我们中医人士及一众爱好者，都将有哪些重大时代使命，亟待着去扎实、严谨与简晓地加以解决！

　　有道是：中医兴亡，时不我予呵……
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当前科学世界正统权威────『逻辑实证主义』

　　逻辑 实证主义(Logical positivism) 是一个 哲学流派，主要产生于20世纪30年代到50年代。其核心是以石里克和卡尔纳普为代表“维也纳学派，又叫“新实证主义”。

　　它以 经验为根据，以 逻辑为工具，进行 推理，用“概率论”来修正结论。

　　它认为，科学的方法是研究 人类行为的唯一正确的方法，因此，它虽以“感性的经验”为依据，但却否认了感性认识的积极作用，是不折不扣的 理性主义。
　　他们认为外部客观世界是可以被认识、被量化的，从经验获取角度。

【基本观点】

　　①把哲学任务归结为：对知识进行逻辑分析，特别是对 科学语言进行分析。

【譬如，对素问、灵枢、伤寒论等表述语言，进行西方逻辑分析和证据链重构，像“肾主藏精，开窍于耳”一句，就必须拿出充分的生／心理、病／原理上的实验材料与观点证明等────中医复兴急矣，但绝须如此行之，才会为主流科学界和国外政府机构认可、并相应推广的。】

　　②坚持分析命题和综合命题的区分，强调通过对语言的逻辑分析，以消灭 形而上学。

【譬如，先秦五行说、周易阴阳论等都属于“经验归纳，综合命题”，但五行脏腑藏象说、阴阳经络穴道说等则都属于“数理演绎，分析命题”。两者不可含混了帐，必须搞清楚它们在思想哲学和健康机制上的分界线、异同点、实例证明、原理图谱等────中医复兴难矣，但绝绕不开这一历程，欧美学界屑不一视，千万莫让日韩、越南、新加坡等，抢了中国之先头！】

　　③强调一切综合命题都以经验为基础，提出可证实性、可检验性和可确认性三原则。

【譬如，「经络原理」功能之于可证实性、「针灸配穴」方剂之于可检验性，和「祛风扶正」疗效之于可确认性，这些皆属于临床实践与观察诊治的范畴，但每一项都牵扯到大、小医科命题，不知道中医研究院、中医大学机构等，是否业已做出了充足的专项努力────中医复兴旷矣，没有“西哲包装式的医研材料”，没有“现代会展式的主题推广”，一切都是缘木求鱼，抱残守缺！】

　　④主张物理语言是科学的普遍语言，试图把一切经验科学还原为物理科学，实现科学上的大统一。

【所谓“物理语言”，就是数学模型(公式、函数、方程组等)与逻辑证论(定律、原理、推导链等)。显而易见，中医还是经验科学，药案还是朴素科学，在跟现代科学接轨上，目前是遥遥无期，几近白地！

从上世纪“文.革”结束后，相继兴起的特异功能热、气功康疗热、养生健身热、保健品械热、纳米科技热等等群众运动风潮，虽然涌现了大量的“打着中医旗号的书集”，但是俗不可耐，掺入了经济噱头────中医复兴怠矣，虽说目下网络平台如博客、论坛、贴吧等里，出现了不少民科文篇及理论创新，但是缺少“专题学术带头人”等，缺失“权威组织研讨会”，一盘散沙，难见光明！】


　　逻辑实证主义，是 分析哲学的主要流派之一，它是传统经验主义和逻辑分析方法相结合的产物，其思想渊源于 休谟哲学、实证主义、 马赫主义和 逻辑原子主义等。

　　1、逻辑实证主义和逻辑经验主义有很多联系和类似之处，但最好不要将两者简单地混同起来。两者发展历程不同，代表人物不同。

　　「逻辑实证主义」坚持反科学实在论、可证实性，主张用现象主义语言建立统一的科学，反对科学解释。比如毛伟人的《矛盾论》及“百年民主革命中的英烈革命和人民运动”等治世风潮。
　　「逻辑经验主义」坚持科学实在论、可检验性，主张用物理语言建立统一的科学，支持科学解释。比如邓大人的『白猫黑猫论』及“科技是第一生产力”、“人均GDP三段式路线图，计划经济下市场机制，实现四个现代化”等治国思想。

　　2、逻辑实证主义认为，哲学不是一种知识体系，而是一种思潮活动，一种澄清或确定命题意义的精英活动。【编者按：中医复兴孱矣，中医衰落的根源在于，哲学研讨的缺失，科学社团的低俗，组织力量的薄弱，规划纲要的空白……这也是中国当代科学匮乏“开创性理论”的根子所在，不蓄江河湖泊，哪得源头鲤龙？】

　　石里克在《哲学的转变》中写道：它积极表现了当代的伟大转变的特征，哲学就是那种确定或发现命题意义的活动──哲学使命题得到澄清，科学使命题得到证实；科学研究的是命题的真理论性，哲学研究的是命题的真正意义。

　　卡尔纳普指出，哲学只不过是科学的逻辑，借助逻辑分析，可以得到正、反两个方面的结论：正面结论是澄清科学的概念、命题的意义，反面结论是清除『形而上学』……

兮招天

1

　　物理学是 自然科学中最基础的学科之一，是物理学者经过严谨思考论证，而提出表述大自然现象与规律的『假说』。

　　倘若这假说能够通过大量严格的 实验检验，则可以被归类为 『物理定律』。但正如很多其他自然科学理论一样，这些 定律不能被证明，其正确性只能靠着反复的实验来检验，为之“科学成果”。

【编者按：中医理论研究，目前尚匮乏此一大批量『经验假说～医理定律／医学成果』式西方科学“包装”，是故难以向世界推广，但最紧要是“首先设计出符合药效检验、又具东方特色的实验方案来。

像《史记》中记载的“芦灰竹管”验证『六气说』，就很鲜明、务实，只不过没有现代诠释罢了，比如它背后的地球气候机制等】

兮招天

2

【释文解字】

　　『物理』一词中，“理”者指物体的脉络，而物质借助于“能行聚合(结构)”，表现出“色相性势(运动)”称为物体。而相应地，『物理学』就是研究物质时空结构、物体内外脉络关系及相互运化作用的一门科学。

　　比如，在“宇宙物理学”领域中，它研究宇宙基本组成要素，像物质(质量)、能量、空间、时间及它们的相互作用，并借由被分析的基本定律与假说法则，从而尽可能完整地了解这个宇观系统。

现代物理学是一门理论和实验高度结合的精确科学────
　　它通常包含四个要素： 物理现象、物质结构、物质相互作用、物质运动规律等。
　　它的科学态度与程式：提出命题 → 理论解释 → 理论预言 → 实验验证 →修改理论。

　　它的产生过程如下：
　　①『物理命题』一般是从新的观测事实或实验事实中提炼出来，或从已有原理中推演出来；【譬如：中医之于糖尿病(消渴症)的命题，经典再认知、临床新发现、因机研讨会等】

　　②首先尝试用已知理论对命题作解释、逻辑推理和数学演算；【譬如：《黄帝内经》、《诸病原候论》等历代典籍，望闻问切，八纲辨证，病因诊断，病机推演，病程预估，病灶判算，医嘱患约等等，一套中医施治的完整流程……只不过中医匮乏形象包装、宣传推广，尤其在国门之外的欧美国家中】

　　③如现有理论不能完美解释，需修改原有模型或提出全新的理论模型；【譬如：中医“四诊断病，先调后理；一人一方，辨证施治；自然康复，以致中和”等等。这些都是独具特色的治疗观念，充溢了东方文化魅力。但是，中医学仁既无“文案策划”，又无“装潢推广”，而漫不经心地照搬西医院所……

　　你再看看中医兴盛的时代与地域，哪个诊所／医馆、药铺／堂坊不是精心装扮，一眼望穿？中医急切衰落，几近断了菁华传承，不仅是个人经典素养的下降，更是社团文化理念的贫白────一句话，“自作孽，不可活！”】

　　④新理论模型必须提出预言，并且预言能够为实验所证实；【譬如：中医“先调－中理－后养”的三阶段疗程，每一步做出预判、估算和嘱咐，并在复诊时印证病因、控制病机和检验疗效等，想必让合格医师给出“相关证据”不难吧？

　　西医的“每日查房记录”、“拍片会诊资料”、“药械帐目收结”、“处方及同意书”等等，就是为此“科学规范，服务文明”的先进形象，一再地作出「话剧表演」式的背书……而中医从个人到院方、从民团到部委，毫无“自我标榜”意识，死拽着“资望口碑，白须锦旗”不放等，不消说大败亏输，濒危消亡了！】

　　⑤一切物理理论最终都要以观测或实验事实为准则，当一个理论与实验事实不符时，它就面临着被修改或被推翻。【譬如：中医典籍浩繁，中医理论自洽，五运六气，四诊八纲，经络针灸，方剂配伍等，也从不缺少“疗效观察，康复事实，成功医案”等。

　　只不过在“特色实验，药理接轨，中医文明”三个层面上，跟西医发展天差地远，固步自封！中医学仁“小农意识”，中医社群“城郊放羊”，中医院团“怨艾局委”……中医悖离了生存土壤，随着传统文明衰落，纯粹是“自作孽，堪苟活”！！！

　　无奈奉赠一句话：『门不敲不开，行无果无活』。从来是“文明集合”的传承，而不是“流民知识”的孑遗，因为是“人民承载了历史，而菁英担负了使命”。】

兮招天

3

　　『物理』在经典时代是由与它极相像的 自然哲学的研究所组成的，直到十九世纪物理才从哲学中分离出来成为一门 实 证科学。

　　『物理学』是关于 大自然规律的知识；更广义地说，物理学探索分析 大自然所发生的现象，以了解其规则。

　　『物理学』是人们对无生命自然界中物质的转变的知识做出规律性的总结。

　　这种运动和转变应有两种。一是早期人们通过感官视觉的延伸，二是近代人们通过发明创造供观察测量用的科学仪器，实验得出的结果，间接认识物质内部组成建立在的基础上。

　　物理学从研究角度及观点不同，可分为 微观与宏观两部分，“宏观”是不分析微粒群中的单个作用效果而直接考虑整体效果，是最早期就已经出现的，微观物理学随着科技的发展理论逐渐完善。

　　物理学研究的范围 —— 物质世界的层次和数量级

[空间尺度：]
原子、原子核、基本粒子、DNA长度、最小的细胞、太阳山哈勃半径、星系团、银河系、恒星的距离、太阳系、超星系团等。比如“人蛇吞尾图”形象地表示了物质空间尺寸的层次。

微观粒子Microscopic：质子 10-15 m
介观物质mesoscopic
宏观物质macroscopic
宇观物质cosmological 类星体 10^26m

[时间尺度：]
基本粒子 寿命10^-25s
宇宙寿命 10^18s

[按空间尺度划分：]量子力学、经典|宇宙物理学
[按速率大小划分：]相对论|非相对论 物理学
[按客体大小划分：]微|介|宏|宇 观
[按运动速度划分：]低|中|高 速
[按研究方法划分：]实验|理论|计算 物理学

兮招天

4

● 物理的学习特点：从整体上逻辑地、协调地学习物理学，了解物理学中各个分支之间的相互联系。

● 物理学的本质：物理学并不研究自然界现象的机制（或者根本不能研究），我们只能在某些现象中感受自然界的规则，并试图以这些规则来解释自然界所发生任何的事情。

　　我们有限的智力总试图在理解自然，并试图改变自然，这是物理学，甚至是所有自然科学共同追求的目标。

● 怎样学习物理学？

　　著名物理学家费曼说，科学是一种方法，它教导人们：一些事物是怎样被了解的，什么事情是已知的，了解到了什么程度，如何对待疑问和不确定性，证据服从什么法则；如何思考事物，做出判断，如何区别真伪和表面现象？

　　著名物理学家 爱因斯坦说：发展独立思考和独立判断的一般能力，应当始终放在首位，而不应当把专业知识放在首位。如果一个人掌握了他的学科的基础理论，并且学会了独立思考和工作，他必定会找到自己的道路，而且比起那种主要以获得细节知识为其培训内容的人来，他一定会更好地适应进步和变化 。

【物理学史】
● 伽利略·伽利雷（1564年-1642年）人类现代物理学的创始人，奠定了人类现代物理科学的发展基础。
● 1900-1926年 建立了 量子力学。
● 1926年 建立了 费米 狄拉克统计。
● 1927年 建立了 布洛赫波的理论。
● 1928年 索末菲提出 能带的猜想。
● 1929年 派尔斯提出 禁带、 空穴的概念，同年贝特提出了 费米面的概念。
● 1947年 贝尔实验室的巴丁、 布拉顿和 肖克莱发明了 晶体管，标志着信息时代的开始。
● 1957年 皮帕得测量了第一个费米面超晶格材料纳米材料光子。
● 1958年杰克.基尔比发明了 集成电路。
● 20世纪70年代出现了大规模集成电路。

兮招天

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物理理论与物理技术的关系：

● 热机的发明和使用，提供了第一种模式：技术—— 物理—— 技术
● 电气化的进程，提供了第二种模式：物理—— 技术—— 物理

　　当今物理学和科学技术的关系两种模式并存，相互交叉，相互促进“没有昨日的 基础科学就没有今日的技术革命”。例如：核能的利用、激光器的产生、层析成像技术(CT)、 超导电子技术、粒子散射实验、X 射线的发现、 受激辐射理论、低温超导微观理论、电子计算机的诞生。几乎所有的重大新(高)技术领域的创立，事先都在物理学中经过长期的酝酿。

　　物理是一种社会进步的大智慧。

　　诚如诺贝尔物理学奖得主、德国科学家玻恩所言：“如其说是因为我发表的工作里包含了一个自然现象的发现，倒不如说是因为那里包含了一个关于自然现象的科学思想方法基础。”

　　物理学之所以被人们公认为一门重要的科学，不仅仅在于它对客观世界的规律作出了深刻的揭示，还因为它在发展、成长的过程中，形成了一整套独特而卓有成效的思想方法体系。正因为如此，使得物理学当之无愧地成了人类智能的结晶，文明的瑰宝。

　　大量事实表明，物理思想与方法不仅对物理学本身有价值，而且对整个自然科学，乃至社会科学的发展都有着重要的贡献。有人统计过，自20世纪中叶以来，在诺贝尔化学奖、生物及医学奖，甚至经济学奖的获奖者中，有一半以上的人具有物理学的背景——这意味着他们从物理学中汲取了智能，转而在非物理领域里获得了成功。

　　反过来，却从未发现有非物理专业出身的科学家问鼎诺贝尔物理学奖的事例。这就是物理智能的力量。难怪国外有专家十分尖锐地指出：“没有物理修养的民族是愚蠢的民族！”

　　总之，物理学是对自然界概括规律性的总结，是概括经验科学性的理论认识。

兮招天

6

物理学的六大属性

　　1.真理性：物理学的理论和实验揭示了自然界的奥秘，反映出物质运动的客观规律。

　　2.和谐统一性：神秘的太空中天体的运动，在 开普勒三定律的描绘下，显出多么的和谐有序。物理学上的几次大统一，也显示出美的感觉。牛顿用三大定律和 万有引力定律把天上和地上所有 宏观物体统一了。麦克斯韦电磁理论的建立，又使电和磁实现了统一。 爱因斯坦质能方 程又把 质量和能量建立了统一。光的 波 粒二象性理论把 粒子性、 波动性实现了统一。爱因斯坦的 相对论又把时间、空间统一了。

　　3.简洁性：物理规律的数学语言，体现了物理的简洁明快性。如：牛顿第二定律，爱因斯坦的 质能方程， 法拉第电磁 感应定律。

　　4.对称性：对称一般指物体形状的对称性，深层次的对称表现为事物发展变化或客观规律的对称性。如：物理学中各种晶体的 空间点阵结构具有高度的对称性。 竖直上抛运动、 简谐运动、波动镜像对称、磁电对称、作用力与反作用力对称、正粒子和反粒子、正物质和反物质、正电和负电等。

　　5.预测性：正确的物理理论，不仅能解释当时已发现的物理现象，更能预测当时无法探测到的物理现象。例如麦克斯韦 电磁理论预测 电磁波存在，卢瑟福预言中子的存在，菲涅尔的衍射理论预言圆盘衍射中央有 泊松亮斑，狄拉克预言电子的存在。

　　6.精巧性：物理实验具有精巧性，设计方法的巧妙，使得物理现象更加明显。

兮招天

　　数学是研究 数量、 结构、 变化、 空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。

　　数学起源于人类早期的生产活动， 古巴比伦人从 远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。

　　基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在 古埃及、 美索不达米亚及 古印 度内的 古代数学文本内便可观见。只不过古希腊发展得更为严谨神圣。从那时后便持续不断地有小幅度的进展。但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态。

　　直到 16世纪的 文艺复兴时期， 笛卡尔创立了 解析几何，将当时完全分开的 代 数和 几何学联系到了一起。从那以后，我们终于可以用计算证明几何学的 定理；同时也可以用图形来形象的表示抽象的 代数方程。而其后更发展出更加精微的 微积分。

兮招天

　　古时，数学内的 主要原理是为了研究天文，土地粮食作物的合理分配，税务和贸易等相关的计算。数学也就是为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的 研究。

　　数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。而东西方文化也采用了不同的角度，欧洲文明发展 出来几何学，而中国则发展出算术。

　　第一个被抽象化的概念大概是数字（中国的算筹），其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。除了认知到如何去数实际物件的数量，史前的人类亦了解如何去数抽象概念的数量，如时间日月、季节和年。算术（ 加减乘除）也自然而然地产生了。

　　更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如 符木或于 印加人使用的 奇普。历史上曾有过许多各异的记数系统。【譬如八卦、干支、六十甲子等】

　　数学，中国古称算学，可分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。

　　中国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才涉及到的思想方法，近现代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的：

　　【 李善兰恒等式】数学家 李善兰在 级 数求和方面的研究成果，在国际上被命名为“ 李善兰恒等式”（或李氏恒等式）。

　　【 华氏定理】数学家 华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“ 华 氏定理”；另外他与数学家 王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。
　　……

　　在传统观点中，数学分为纯粹数学和应用数学两大类。纯粹即基础，包括代数、几何、函数论等几大主要分支，而且基础数学的主要研究一些具有高度抽象性的规律；而应用数学囊括金融数学、运筹学、信息安全理论等分支，将数学运用于科学工程、经济学和社会学中都彰显了应用数学的实用性以及目的性。

　　创立于二十世纪三十年代的 法国的 布尔巴基学派则认为：数学，至少纯数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和 公 理出发的演绎系统。他们认为数学有三种基本的母结构： 代数结构(群，环，域，格……)、序结构(偏序，全序……)、拓扑结构(邻域，极限，连通性，维数……)。

兮招天

　　为了搞清楚 数学基础， 数学逻辑和 集 合论等领域被发展了出来。 德国数学家 康托尔（1845-1918）首创 集合论，大胆地向“ 无穷大”进军，为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，而它本身的内容也是相当丰富的，提出了“实无穷”的思想，为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。

　　『集合论』在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论， 测度论， 拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初，数学家 希尔伯特在德国传播了康托尔的思想，把集合论称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”。英国哲学家 罗素把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。

　　『数学逻辑』专注在将数学置于一坚固的 公理架构上，并研究此一架构的成果。就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果。现代逻辑被分成 递归论、 模型 论和 证明论，且和 理论计算机科学有着密切的关联性。

　　『数学符号』我国古代的 算筹是世界上最早使用的符号之一，起源于 商代的占卜。

　　我们现今所使用的大部分 数学符号都是到了16世纪后才被发明出来的。在此之前，数学是用文字书写出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序。现今的符号使得数学对于人们而言更便于操作，但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩：少量的符号包含著大量的讯息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息 编码。

【严谨性】
　　数学语言亦对初学者而言感到困难。如何使这些字有着比日常用语更精确的意思，亦困恼着初学者，如开放和 域等字在数学里有着特别的意思。 数学术语亦包括如 同胚及 可积性等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的 精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。

　　严谨是数学证明中很重要且基本的一部分。数学家希望他们的 定理以系统化的推理依着公理被推论下去。这是为了避免依着不可靠的直观，从而得出错误的“定理”或"证明"，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨。

　　牛顿为了解决问题所作的定义，到了十九世纪才让数学家用严谨的分析及正式的证明妥善处理。今日，数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。当大量的计算难以被验证时，其证明亦很难说是有效地严谨。