九章算經點校

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九章算術提要
版本與校勘
劉徽九章算術注原序
九章算術卷第一
方田
九章算術卷第二
粟米
九章算術卷第三
衰分
九章算術卷第四
少廣
九章算術卷第五
商功
九章算術卷第六
均輸
九章算術卷第七
盈不足
九章算術卷第八
方程
九章算術卷第九
句股
  
  
  
　 　 　 　 九 章 算 術 提 要
　 　 九 章 算 術 九 卷 ， 不 詳 作 者 名 氏 。 九 章 算 術 是 一 部 現在 有 傳 本 的 、 最 古 老 的 中 國 數 學 書 ， 它 的 編 纂 年 代 大 約是 在 東 漢 初 期 。 書 中 收 集 了 二 百 四 十 六 個 應 用 問 題 的 解法 ， 分 別 隸 屬 於 方 田 、 粟 米 、 衰 分 、 少 廣 、 商 功 、 均 輸、 盈 不 足 、 方 程 、 句 股 九 章 。
　 　 春 秋 、 戰 國 時 期 社 會 生 產 力 的 逐 漸 提 高 ， 促 進 了數 學 知 識 和 計 算 技 能 的 發 展 。 當 時 各 國 的 統 治 階 級 要 按畝 收 稅 ， 必 須 有 測 量 土 地 、 計 算 面 積 的 方 法 ； 要 儲 備 糧食 ， 必 須 有 計 算 倉 庫 容 積 的 方 法 ； 要 修 建 灌 溉 渠 道 、 治河 堤 防 和 其 他 土 木 工 事 ， 必 須 能 計 算 工 程 人 功 ； 要 修 訂一 個 適 合 農 業 生 產 的 曆 法 ， 必 須 能 運 用 有 關 的 天 文 數 據。 那 時 的 百 姓 掌 握 了 相 當 豐 富 的 、 由 日 常 生 活 中 產 生 的數 學 知 識 和 計 算 技 能 。 雖 然 沒 有 一 本 先 秦 的 數 學 書 流 傳到 後 世 ， 但 無 可 懷 疑 的 是 九 章 算 術 方 田 、 粟 米 、 衰 分 、少 廣 、 商 功 等 章 中 的 題 解 方 法 ， 絕 大 部 分 是 產 生 於 秦 以前 的 。 漢 書 藝 文 志 術 數 類 著 錄 有 許 商 算 術 二 十 六 卷 ， 杜忠 算 術 十 六 卷 ， 這 兩 部 算 術 雖 早 已 失 傳 ， 應 該 是 東 漢 初編 纂 的 九 章 算 術 的 前 身 ， 它 們 的 主 要 教 材 應 當 被 保 存 於九 章 算 術 各 章 之 內 。

　 　 周 禮 大 司 徒 篇 說 ： 「 保 氏 掌 諫 王 惡 而 養 國 子 以 道。 乃 教 之 六 藝 ： 一 曰 五 禮 ， 二 曰 六 樂 ， 三 曰 五 射 ， 四 曰五 馭 ， 五 曰 六 書 ， 六 曰 九 數 。 」 這 是 說 ， 主 持 貴 族 子 弟教 育 的 保 氏 以 禮 、 樂 、 射 、 馭 、 書 、 數 為「
小 學 」 的 六 門 課 程 ， 每 一 門 課 程 又 各 有 若 干 細 目 ， 例如 「 數 」 學 中 有 九 個 細 目 。 但 在 周 禮 裏 沒 有 把 「 九 數 」列 舉 出 來 ， 我 們 就 無 法 考 證 它 的 內 容 。 漢 武 帝 時 這 部 周禮 開 始 受 到 經 學 家 的 注 意 。 到 東 漢 時 期 ， 鄭 眾 、 馬 融 等都 為 「 九 數 」 作 了 注 解 。 東 漢 末 鄭 玄 周 禮 注 引 鄭 眾 說 ：「
九 數 ： 方 田 、 粟 米 、 差 分 、 少 廣 、 商 功 、 均 輸 、 方 程、 贏 不 足 、 旁 要 ， 今 有 重 差 、 句 股 。 」 事 實 上 ， 鄭 眾 所說 「 九 數 」 中 的 「 均 輸 」 已 是 漢 武 帝 太 初 元 年 以 後 的 賦稅 制 度 ， 決 不 是 周 禮 九 數 原 有 的 一 個 細 目 。 「 方 田 、 粟米 、 差 分 、 少 廣 、 商 功 、 均 輸 、 方 程 、 贏 不 足 、 旁 要 」大 概 是 西 漢 末 傳 統 算 術 的 主 要 綱 目 ， 「 今 有 重 差 、 句 股」 說 明 數 學 有 了 新 的 發 展 。 傳 本 九 章 算 術 將 句 股 代 替 旁要 ， 它 的 編 纂 年 代 當 在 鄭 眾 注 周 禮 「 九 數 」 （ 約 公 元 五０ 年 ） 之 後 。 後 漢 書 馬 援 傳 說 ， 馬 續 「 善 九 章 算 術 」 。馬 續 是 馬 援 的 侄 孫 ， 馬 融 （ 公 元 七 九 — — 一 六 六 年 ） 之兄 ， 他 的 生 年 約 在 公 元 七 ０ 年 前 後 。 馬 續 研 究 九 章 算 術大 概 在 公 元 九 ０ 年 前 後 。 根 據 上 述 史 料 ， 我 們 認 為 九 章算 術 的 編 定 年 代 是 在 公 元 第 一 世 紀 的 後 半 個 世 紀 ， 而 各章 的 主 要 內 容 在 第 一 世 紀 初 期 已 具 備 了 一 定 的 成 就 。

　 　 九 章 算 術 不 但 對 後 世 的 數 學 著 作 奠 定 了 優 良 的 傳統 ， 對 世 界 數 學 的 發 展 也 有 著 重 要 的 貢 獻 。 現 在 小 學 算術 課 程 中 的 分 數 四 則 ， 各 種 比 例 ， 面 積 和 體 積 ， 以 及 各類 應 用 問 題 的 解 法 ， 在 九 章 算 術 方 田 、 粟 米 、 衰 分 、 商功 、 均 輸 、 盈 不 足 等 章 裏 已 有 了 相 當 詳 備 的 內 容 。 現 在中 學 課 程 中 的 代 數 部 分 ， 如 開 平 方 、 開 立 方 、 正 負 數 、聯 立 一 次 方 程 組 、 二 次 方 程 等 項 目 ， 在 少 廣 、 方 程 、 句股 章 裏 亦 已 有 了 卓 越 的 成 就 。

　 　 傳 本 九 章 算 術 有 劉 徽 注 和 唐 李 淳 風 等 的 注 釋 。 劉徽 是 我 國 古 代 傑 出 的 數 學 家 。 他 為 九 章 算 術 作 注 解 ， 又自 撰 重 差 一 卷 附 於 九 章 算 術 九 卷 之 後 ， 故 隋 書 經 籍 志 著錄 「 九 章 算 術 十 卷 ， 劉 徽 撰 」 。 經 籍 志 又 錄 有 「 九 章 重差 圖 一 卷 ， 劉 徽 撰 」 ， 當 是 十 卷 本 的 附 圖 ， 可 惜 早 已 亡佚 。 九 章 算 術 方 田 章 圓 田 術 注 和 商 功 章 圓 困 術 注 中 都 論及 「 晉 武 庫 中 有 漢 時 王 莽 所 作 銅 斛 」 。 隋 書 律 曆 志 論 歷代 量 制 引 商 功 章 注 ， 說 「 魏 陳 留 王 景 元 四 年 （ 公 元 二 六三 年 ） 劉 徽 注 九 章 」 。 我 們 根 據 這 些 資 料 ， 認 為 劉 徽 是魏 、 晉 時 人 。 他 的 生 平 履 歷 無 可 詳 考 。

　 　 劉 徽 九 章 算 術 注 自 序 說 ： 「 又 所 析 理 以 辭 ， 解 體用 圖 。 庶 亦 約 而 能 周 ， 通 而 不 黷 ， 覽 之 者 思 過 半 矣 。 」這 是 說 ， 問 題 解 法 的 理 論 分 析 ， 要 用 明 確 的 語 言 表 達 出來 ； 空 間 形 體 的 具 體 分 解 ， 要 用 幾 何 圖 形 顯 示 出 來 。 這樣 纔 能 做 到 又 簡 又 明 ， 啟 發 讀 者 的 思 考 。 他 在 注 中 一 方面 整 理 九 章 算 術 各 個 問 題 的 解 法 ， 理 論 上 屬 於 一 類 的 使它 們 歸 於 一 類 ， 提 綱 挈 領 地 闡 明 所 以 能 解 的 道 理 。 在 另一 方 面 ， 對 於 原 來 所 有 不 夠 準 確 的 近 似 計 算 ， 他 提 出 了更 精 確 的 計 算 方 法 。 例 如 九 章 算 術 原 術 取 用 三 為 圓 周 率， 他 通 過 了 圓 內 接 正 三 百 八 十 四 邊 形 和 正 三 千 零 七 十 二邊 形 面 積 的 嚴 密 計 算 ， 得 到 圓 周 率 的 近 似 值 ， 五 十 分 之一 百 五 十 七 ， 或 一 千 二 百 五 十 分 之 三 千 九 百 二 十 七 。 又如 開 平 方 或 開 立 方 不 盡 時 （ 平 方 根 或 立 方 根 為 無 理 數 ）， 原 有 以 分 數 表 示 奇 零 部 分 的 方 法 不 甚 準 確 ， 他 主 張 繼續 開 方 ， 得 出 以 十 進 分 數 表 示 平 方 根 或 立 方 根 的 近 似 值。 此 外 ， 他 創 立 許 多 新 的 解 題 方 法 ， 例 如 盈 不 足 章 第 十九 題 的 等 差 級 數 求 和 法 ， 方 程 章 第 七 題 的 互 乘 相 消 法 ，第 九 題 的 消 去 常 數 項 法 ， 句 股 章 第 十 六 題 的 內 切 圓 徑 公式 等 等 ， 都 比 原 術 簡 便 。

　 　 唐 李 淳 風 等 對 劉 徽 注 本 九 章 算 術 作 了 一 些 解 釋 ，原 有 劉 注 意 義 十 分 明 確 的 不 再 補 注 ， 盈 不 足 、 方 程 二 章就 沒 有 他 們 的 注 釋 。 九 章 算 術 所 有 與 圓 面 積 有 關 的 問 題， 都 取 圓 周 率 三 計 算 ， 劉 徽 注 以 為 應 取 五 十 分 之 一 百 五十 七 ， 李 淳 風 等 補 注 認 為 可 以 用 七 分 之 二 十 二 計 算 ， 這是 對 的 。 但 七 分 之 二 十 二 是 祖 沖 之 的 所 謂 「 約 率 」 ， 而李 淳 風 等 引 用 此 率 ， 稱 它 為 「 密 率 」 。 後 世 人 誤 認 七 分之 二 十 二 為 「 密 率 」 的 很 多 ， 這 是 李 注 的 謬 種 流 傳 。 少廣 章 開 立 圓 術 ， 李 淳 風 等 注 釋 引 祖  之 說 ， 介 紹 球 體 積公 式 的 理 論 基 礎 。 綴 術 書 失 傳 後 ， 祖 沖 之 父 子 對 於 球 體積 的 研 究 ， 幸 有 李 淳 風 等 的 徵 引 而 得 流 傳 到 現 在 。

　 　 劉 、 李 注 本 九 章 算 術 到 北 宋 仁 宗 時 有 賈 憲 所 撰 的細 草 ， 原 書 早 已 失 傳 ， 但 永 樂 大 典 中 保 存 楊 輝 所 引 的 賈憲 開 方 法 是 非 常 寶 貴 的 數 學 史 料 。 南 宋 末 有 楊 輝 詳 解 九章 算 法 十 二 卷 （ 一 二 六 一 ） ， 現 在 僅 存 商 功 、 均 輸 、 盈不 足 、 方 程 、 句 股 五 章 和 「 九 章 算 法 纂 類 」 。 楊 輝 鈔 錄的 九 章 算 術 本 文 和 劉 、 李 二 家 注 文 有 很 多 脫 誤 ， 但 也 有可 據 以 對 校 永 樂 大 典 本 的 文 字 。 清 嘉 慶 初 年 李 潢 撰 九 章算 術 細 草 圖 說 九 卷 ， 有 校 勘 、 有 補 圖 、 有 詳 草 、 有 說 明， 發 揮 九 章 算 術 劉 徽 注 的 原 意 ， 對 於 讀 者 是 大 有 裨 益 的。
  
  
  

　 　 　 　 版 本 與 校 勘
　 　 劉 、 李 注 本 九 章 算 術 在 宋 代 有 北 宋 元 豐 七 年 （ 公 元一 ０ 八 四 年 ） 秘 書 省 刻 本 和 南 宋 嘉 定 年 鮑 澣 之 刻 本 。 明代 永 樂 大 典 依 據 九 章 名 義 分 類 抄 錄 ， 到 清 朝 初 年 並 未 散佚 。 明 代 留 心 古 典 數 學 的 人 很 少 ， 九 章 算 術 非 但 沒 有 新的 刻 本 ， 連 宋 代 遺 留 下 來 的 舊 書 也 漸 次 散 佚 。 清 初 南 京黃 虞 稷 家 中 有 南 宋 刻 本 九 章 算 術 ， 僅 存 方 田 、 粟 米 、 衰分 、 少 廣 、 商 功 五 章 。 一 六 七 八 年 梅 文 鼎 到 南 京 應 鄉 試時 曾 到 黃 家 翻 閱 過 。 這 個 殘 本 九 章 算 術 於 乾 隆 中 為 曲 阜孔 繼 涵 所 得 ， 嘉 慶 中 為 陽 城 張 敦 仁 所 得 ， 今 存 上 海 圖 書館 。 常 熟 毛 扆 於 一 六 八 四 年 向 黃 家 借 鈔 得 一 影 宋 鈔 本 。這 個 影 宋 的 殘 本 九 章 算 術 於 乾 隆 中 轉 入 清 宮 ， 作 為 天 祿琳 琅 閣 藏 書 ， 今 存 故 宮 博 物 院 。 一 九 三 二 年 故 宮 博 物 院把 它 影 印 為 天 祿 琳 琅 叢 書 的 一 種 。
　 　 乾 隆 三 十 八 年 （ 一 七 七 三 ） 開 四 庫 全 書 館 ， 婺 源戴 震 充 四 庫 全 書 纂 修 及 分 校 官 。 次 年 ， 戴 震 從 永 樂 大 典中 抄 集 九 章 算 術 九 卷 ， 並 且 做 了 一 番 校 勘 工 作 。 四 庫 全書 本 和 武 英 殿 聚 珍 版 本 九 章 算 術 都 有 戴 震 的 校 訂 文 字 和補 圖 。 商 務 印 書 館 刊 行 的 叢 書 集 成 本 是 依 據 武 英 殿 本 排印 的 。

　 　 戴 震 的 兒 女 親 家 孔 繼 涵 刻 微 波 榭 本 算 經 十 書 ， 其中 九 章 算 術 九 卷 採 用 戴 震 的 校 定 本 。 戴 震 校 正 的 文 字 ，顛 撲 不 破 的 果 然 不 少 ， 但 也 有 些 地 方 ， 他 師 心 自 用 ， 把原 本 不 錯 的 文 字 改 掉 ， 後 來 的 讀 者 很 容 易 被 他 蒙 蔽 而 引起 誤 會 。 所 以 作 為 一 個 善 本 書 看 ， 微 波 榭 本 的 參 考 價 值是 遠 不 如 武 英 殿 本 的 。 微 波 榭 本 九 章 算 術 卷 九 的 最 後 一頁 上 題 稱 「 大 清 乾 隆 三 十 八 年 癸 巳 秋 闕 里 孔 氏 依 汲 古 閣影 宋 刻 本 重 雕 」 ， 書 的 底 本 和 刻 書 年 代 都 有 問 題 ， 顯 然是 不 足 徵 信 的 。 此 後 依 據 微 波 榭 本 翻 刻 的 九 章 算 術 有 常熟 屈 曾 發 的 重 刻 本 、 南 昌 梅 啟 照 的 算 經 十 書 本 和 商 務 印書 館 的 萬 有 文 庫 本 、 四 部 叢 刊 本 等 等 。

　 　 嘉 慶 年 鍾 祥 李 潢 撰 九 章 算 術 細 草 圖 說 ， 用 微 波 榭本 作 底 本 ， 校 正 了 很 多 錯 誤 文 字 。 戴 震 所 謂 「 舛 誤 不 可通 」 而 無 法 校 訂 的 文 句 ， 經 過 李 潢 校 訂 後 ， 一 般 都 能 文從 字 順 容 易 理 解 了 。 但 碰 到 戴 震 誤 改 原 文 的 地 方 ， 他 就沒 有 能 夠 糾 正 過 來 。 方 程 章 最 後 一 題 的 劉 徽 注 中 ， 敘 述了 兩 個 「 新 術 」 的 演 算 程 序 ， 文 字 冗 長 ， 數 字 繁 瑣 ， 舊刻 本 的 訛 文 奪 字 很 多 ， 不 容 易 整 理 。 李 潢 的 友 人 戴 敦 元和 李 銳 各 代 為 校 正 一 術 。 李 潢 就 照 錄 他 們 的 校 定 稿 作 為細 草 圖 說 的 一 部 分 。 又 ， 均 輸 章 第 八 題 答 數 、 術 文 和 李淳 風 等 的 注 文 俱 有 訛 字 ， 李 潢 未 能 訂 正 ， 沈 欽 裴 於 李 潢死 後 算 校 編 輯 付 刻 時 代 為 校 正 。

　 　 為 了 要 恢 復 唐 代 立 於 學 官 的 劉 、 李 注 本 九 章 算 術， 我 根 據 天 祿 琳 琅 叢 書 本 和 宜 稼 堂 本 楊 輝 詳 解 九 章 算 法所 引 ， 重 加 校 訂 ， 寫 出 了 校 勘 記 四 百 六 十 餘 條 。 戴 震 、李 潢 二 家 所 校 定 的 文 字 認 為 是 正 確 的 ， 於 校 勘 記 中 聲 明他 們 的 開 辟 草 萊 的 功 績 。 也 有 各 本 俱 誤 而 各 家 漏 校 或 誤校 的 文 字 ， 只 能 憑 個 人 意 見 ， 擅 自 校 改 ， 但 在 校 勘 記 中保 留 各 本 原 有 的 異 文 衍 字 。 商 功 章 陽 馬 術 和 句 股 章 容 圓術 的 劉 徽 注 中 各 有 意 義 難 於 理 解 而 不 能 句 讀 的 文 字 ， 無法 校 訂 ， 只 能 付 之 缺 疑 。
  
  
  

　 　 　 　 劉 徽 九 章 算 術 注 原 序
　 　 昔 在 包 犧 氏 始 畫 八 卦 ， 以 通 神 明 之 德 ， 以 類 萬 物 之情 ， 作 九 九 之 術 以 合 六 爻 之 變 。 暨 於 黃 帝 神 而 化 之 ， 引而 伸 之 ， 於 是 建 曆 紀 ， 協 律 呂 ， 用 稽 道 原 ， 然 後 兩 儀 四象 精 微 之 氣 可 得 而 效 焉 。 記 稱 隸 首 作 數 ， 其 詳 未 之 聞 也。 按 周 公 制 禮 而 有 九 數 ， 九 數 之 流 ， 則 九 章 是 矣 。
　 　 往 者 暴 秦 焚 書 ， 經 術 散 壞 。 自 時 厥 後 ， 漢 北 平 侯張 蒼 、 大 司 農 中 丞 耿 壽 昌 皆 以 善 算 命 世 。 蒼 等 因 舊 文 之遺 殘 ， 各 稱 刪 補 。 故 校 其 目 則 與 古 或 異 ， 而 所 論 者 多 近語 也 。

　 　 徽 幼 習 九 章 ， 長 再 詳 覽 。 觀 陰 陽 之 割 裂 ， 總 算 術之 根 源 ， 探 賾 之 暇 ， 遂 悟 其 意 。 是 以 敢 竭 頑 魯 ， 采 其 所見 ， 為 之 作 注 。 事 類 相 推 ， 各 有 攸 歸 ， 故 枝 條 雖 分 而 同本 榦 者 ， 知 發 其 一 端 而 已 。 又 所 析 理 以 辭 ， 解 體 用 圖 ，庶 亦 約 而 能 周 ， 通 而 不 黷 ， 覽 之 者 思 過 半 矣 。 且 算 在 六藝 ， 古 者 以 賓 興 賢 能 ， 教 習 國 子 。 雖 曰 九 數 ， 其 能 窮 纖入 微 ， 探 測 無 方 。 至 於 以 法 相 傳 ， 亦 猶 規 矩 度 量 可 得 而共 ， 非 特 難 為 也 。 當 今 好 之 者 寡 ， 故 世 雖 多 通 才 達 學 ，而 未 必 能 綜 於 此 耳 。

　 　 周 官 大 司 徒 職 ， 夏 至 日 中 立 八 尺 之 表 ， 其 景 尺 有五 寸 ， 謂 之 地 中 。 說 云 ， 南 戴 日 下 萬 五 千 里 。 夫 云 爾 者， 以 術 推 之 。 按 九 章 立 四 表 望 遠 及 因 木 望 山 之 術 ， 皆 端旁 互 見 ， 無 有 超 邈 若 斯 之 類 。 然 則 蒼 等 為 術 猶 未 足 以 博盡 群 數 也 。 徽 尋 九 數 有 重 差 之 名 ， 原 其 指 趣 乃 所 以 施 於此 也 。 凡 望 極 高 、 測 絕 深 而 兼 知 其 遠 者 必 用 重 差 ， 句 股則 必 以 重 差 為 率 ， 故 曰 重 差 也 。 立 兩 表 於 洛 陽 之 城 ， 令高 八 尺 。 南 北 各 盡 平 地 ， 同 日 度 其 正 中 之 景 。 以 景 差 為法 ， 表 高 乘 表 間 為 實 ， 實 如 法 而 一 ， 所 得 加 表 高 ， 即 日去 地 也 。 以 南 表 之 景 乘 表 間 為 實 ， 實 如 法 而 一 ， 即 為 從南 表 至 南 戴 日 下 也 。 以 南 戴 日 下 及 日 去 地 為 句 、 股 ， 為之 求 弦 ， 即 日 去 人 也 。 以 徑 寸 之 筩 南 望 日 ， 日 滿 筩 空 ，則 定 筩 之 長 短 以 為 股 率 ， 以 筩 徑 為 句 率 ， 日 去 人 之 數 為大 股 ， 大 股 之 句 即 日 徑 也 。 雖 天 圓 穹 之 象 猶 曰 可 度 ， 又況 泰 山 之 高 與 江 海 之 廣 哉 。 徽 以 為 今 之 史 籍 且 略 舉 天 地之 物 ， 考 論 厥 數 ， 載 之 於 志 ， 以 闡 世 術 之 美 。 輒 造 重 差， 并 為 注 解 ， 以 究 古 人 之 意 ， 綴 於 句 股 之 下 。 度 高 者 重表 ， 測 深 者 累 矩 ， 孤 離 者 三 望 ， 離 而 又 旁 求 者 四 望 。 觸類 而 長 之 ， 則 雖 幽 遐 詭 伏 ， 靡 所 不 入 。 博 物 君 子 ， 詳 而覽 焉 。
  
  
  

　 　 　 九 章 算 術 卷 第 一
　 　 方 田
〔 一 〕 今 有 田 廣 十 五 步 ， 從 十 六 步 。 問 為 田 幾 何 ？
　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 一 畝 。

〔 二 〕 又 有 田 廣 十 二 步 ， 從 十 四 步 。 問 為 田 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 一 百 六 十 八 步 。

　 　 　 　 　 方 田 術 曰 ： 廣 從 步 數 相 乘 得 積 步 。

　 　 　 　 　 以 畝 法 二 百 四 十 步 除 之 ， 即 畝 數 。 百 畝 為一 頃 。

〔 三 〕 今 有 田 廣 一 里 ， 從 一 里 。 問 為 田 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 三 頃 七 十 五 畝 。

〔 四 〕 又 有 田 廣 二 里 ， 從 三 里 。 問 為 田 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 二 十 二 頃 五 十 畝 。

　 　 　 　 　 里 田 術 曰 ： 廣 從 里 數 相 乘 得 積 里 。 以 三 百七 十 五 乘 之 ， 即 畝 數 。

〔 五 〕 今 有 十 八 分 之 十 二 。 問 約 之 得 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 三 分 之 二 。

〔 六 〕 又 有 九 十 一 分 之 四 十 九 。 問 約 之 得 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 十 三 分 之 七 。

　 　 　 　 　 約 分 術 曰 ： 可 半 者 半 之 ， 不 可 半 者 ， 副 置分 母 子 之 數 ， 以 少 減 多 ， 更 相 減 損 ， 求 其 等 也 。 以 等 數約 之 。

〔 七 〕 今 有 三 分 之 一 ， 五 分 之 二 。 問 合 之 得 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 十 五 分 之 十 一 。

〔 八 〕 又 有 三 分 之 二 ， 七 分 之 四 ， 九 分 之 五 。 問 合 之得 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 得 一 、 六 十 三 分 之 五 十 。

〔 九 〕 又 有 二 分 之 一 ， 三 分 之 二 ， 四 分 之 三 ， 五 分 之四 。 問 合 之 得 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 得 二 、 六 十 分 之 四 十 三 。

　 　 　 　 　 合 分 術 曰 ： 母 互 乘 子 ， 并 以 為 實 ， 母 相 乘為 法 ， 實 如 法 而 一 。 不 滿 法 者 ， 以 法 命 之 。 其 母 同 者 ，直 相 從 之 。

〔 一 ０ 〕 今 有 九 分 之 八 ， 減 其 五 分 之 一 。 問 餘 幾 何 ？

　 　 　 　 　 　 　 荅 曰 ： 四 十 五 分 之 三 十 一 。

〔 一 一 〕 又 有 四 分 之 三 ， 減 其 三 分 之 一 。 問 餘 幾 何 ？